ЛК4(в) > Импульсная характеристика сигналов

Тема: Весовые коефициенты сверточной машины. Импульсные характеристики различных систем

5. Применение весовых коэффициентов в сверточной машине

Свойства линейной системы полностью описываются её импульсной характеристикой. Алгоритм свертки со стороны входного сигнала – каждый отсчет входного сигнала перемножается со сдвинутыми отсчетами импульсной характеристики для получения выходного сигнала. Алгоритм свертки со стороны выходного сигнала – каждый отсчет выходного сигнала определяется несколькими отсчетами входного сигнала, перемноженными с зеркально отраженными отсчетами импульсной характеристки.

Давайте предположим, что внутри сверточной машины отображается не импульсная характеристика, а какой-нибудь набор весовых коэффициентов. С этой точки зрения выходной сигнал равен сумме взвешенных отсчетов входного сигнала. Например, если все коэффициенты будут равны 0,1, то выходной сигнал будет представлять усредненное по 10 отсчетам значение входного сигнала.

Весовые коэффициенты не обязательно должны перемножаться со входными отсчетами, расположенными левее их. Т.е., выходной отсчет может получаться от симметрично расположенных относительно него весовых коэффициентов, и тогда весовые коэффициенты будут представлены положительными и отрицательными индексами.

С математической точки зрения – свертка представляется всегда одним уравнением. С физической точки зрения – система может быть представлена импульсной характеристикой или весовыми коэффициентами. И это важно различать!

6. Импульсные характеристики различных систем

Простейшей импульсной характеристикой системы является дельта-функция (рисунок 4.11). В этом случае, любой входной импульс приводит к появлению на выходе такой системы точно такого же импульса. Т.е., все сигналы проходят через систему без изменений. Сверткой сигнала с дельта-функцией является сам сигнал.

        (4.5)

Дельта-функция обладает свойством тождественности (identity) для операции свертки (как 0 для сложения , или 1 для умножения ). На первый взгляд такая импульсная характеристика для системы неинтересна. Но это не так! Такие системы используются для хранения данных, передачи данных или для измерений. С точки зрения ЦОС – такая система передает данные без изменений и разрушений.

Следующая импульсная характеристика является небольшой модификацией дельта-функции. Если дельта-функцию увеличить или уменьшить по амплитуде, то соответствующая ей система будет усилителем или аттенюатором, соответственно. В математическом виде, усилитель – если К больше единицы, аттенюатор – если К меньше единицы:

        (4.6)

Еще один вид импульсной характеристики представляет собой сдвинутую (shift) дельта-функцию. В результате, такая система будет формировать соответствующий сдвиг между входным и выходным сигналами. Данная система будет обладать свойством задержки (advance) сигнала, в зависимости от направления сдвига.

        (4.7)

Рисунок 4.11 Различные виды дельта-функции

Для многих практических случаев возможна ситуация, когда один сигнал является сдвинутой по времени и отмасштабированной версией другого сигнала. Например – в радиолокации. На рисунке 4.11 показана импульсная характеристика системы, представляющая собой объединение дельта-функции и сдвинутой отмасштабированной дельта-функции. В результате суперпозиции (наложения), на выходе такой системы появится входной сигнал плюс задержанный и отмасштабированный входной сигнал, т.е. эхо. В аудиотехнике эхо используется для создания эффекта объемного звучания. В радиолокации эхо несет информацию об исследуемом объекте. В телефонных сетях применяется эхоподавление.

Операция свертка может изменять дискретные сигналы таким же образом, как и операции интегрирования и дифференцирования. Термин «производная» и «интеграл» используются только для непрерывных сигналов. Для дискретных сигналов, вместо первой производной, используются первый дифференциал (first difference). Интеграл, для дискретного сигнала, носит название скользящей суммы (running sum). Эти операции ещё называются дискретной производной и дискретным интегралом.

На рисунке 4.12 показаны импульсные характеристики систем, реализующих функции первого дифференциала и скользящей суммы, а на рисунке 4.13 – пример использования этих функций.


Рисунок 4.12 Импульсные характеристики дифференцирующей и интегрирующей систем


Рисунок 4.13 Пример дифференцирования и интегрирования входного сигнала

Реализация системы с такой импульсной характеристикой не требует выполнения алгоритма свертки. Воспользуемся альтернативной функцией: суммой взвешенных отсчетов входного сигнала. Тогда, первый дифференциал может быть вычислен как:

    ,     (4.8)

т.е. каждый отсчет выходного сигнала равен разности соседних отсчетов входного сигнала. Это один из способов определения дискретной производной. Другой способ определения первого дифференциала – использование симметрии отсчетов:

        (4.9)

Применяя такой же подход, любой отсчет для скользящей суммы может быть определен суммированием всех точек входного сигнала, расположенных левее текущего отсчета. Для получения значения отсчета необходимо просуммировать отсчеты с по . В другом виде, скользящую сумму можно записать так:

        (4.10)

Выражения такого типа называются рекурсивными уравнениями или дифференциальными уравнениями. Основная идея заключается в том, что реализация этих выражения абсолютно точно соответствует выполнению операции свертка с импульсной характеристикой системы, показанной на рисунке 4.12.