ЛК4(г) > Фильтры нижних и верхних частот: характеристики

Тема: Наиболее общие формы огибающих ядра фильтра и его импульсные и фазовые характеристики

7. Формы огибающих ядра фильтра (импульсной характеристики)

К вопросу о разработке цифровых фильтров мы вернемся позже. Сейчас мы только познакомимся с наиболее общими формами огибающих ядра фильтра (filter kernels) для ФНЧ и ФВЧ (ядро фильтра – другое название импульсной характеристики). На рисунке 4.14 показаны примеры нескольких импульсных характеристик наиболее распространенных ФНЧ.


Рисунок 4.14 Импульсные характеристики ФНЧ

Что бросается в глаза – ядро низкочастотного фильтра содержит группу расположенных подряд положительных точек. В результате чего отсчет выходного сигнала будет содержать усредненные по нескольким отсчетам, с определенным весовым коэффициентом, отсчеты входного сигнала. Такое усреднение сглаживает сигнал, т.е. удаляет высокочастотные составляющие. Для импульсной характеристики НЧ фильтров возможно наличие некоторого количества точек, имеющих отрицательное значения (функция). Как и в аналоговой электронике, цифровые НЧ фильтры используются для уменьшения шумов, разделения сигналов, сглаживания сигнала и пр.

Частота среза фильтра зависит от крутизны его импульсной характеристики (спада её – круче или положе). Если НЧ фильтр имеет коэффициент усиления 1 для постоянной составляющей (нулевой частоты), то сумма всех значений коэффициентов импульсной характеристики фильтра должна равняться единице. Для некоторых типов фильтра теоретическая импульсная характеристика может быть бесконечной, поэтому для практических задач её ограничивают определенным количеством отсчетов.

На следующем рисунке (рисунок 4.15) графически изображены ядра фильтров ВЧ (полученные из соответствующих НЧ фильтров). Это очень распространенный способ при проектировании фильтров – преобразование

НЧ фильтра в ВЧ, полосовой или режекторный (в зависимости от необходимости) фильтр. Для понимания процесса преобразования НЧ фильтра в ВЧ фильтр, вспомним, что система с импульсной характеристикой в виде дельта-функции пропускает входной сигнал без изменений, а система с импульсной характеристикой НЧ фильтра пропускает только низкочастотные составляющие. Поэтому, ядро ВЧ фильтра получится, если от дельта-функции вычесть ядро НЧ фильтра, что приведет к появлению на выходе фильтра входного сигнала без НЧ-составляющих. Это и будет ВЧ фильтр! Обычно дельта-функция добавляется в центре симметрии ядра или в нулевом отсчете (для несимметричных ядер). Т.к. ВЧ фильтр имеет коэффициент усиления равный нулю для постоянной составляющей, то сумма всех отсчетов импульсной характеристики фильтра тоже равна нулю.

Рисунок 4.15 Импульсные характеристики ФВЧ

8. Импульсные характеристики казуальных и неказуальных систем

Представьте себе аналоговую электрическую цепь. Если подать короткий импульс ей на вход, то на выходе цепи увидим реакцию на этот импульс. Т.е. входной сигнал стал причиной этой реакции. Это приводит к формулировке одного из законов причинно-следственной связи: любая реакция наступает после появления причины. Это основная характеристика такого понятия как время. Теперь рассмотрим цифровую систему, которая порождает выходной сигнал от входного сигнала, хранящегося в массиве памяти. Для имитации реальной действительности, необходимо реализовать в системе принцип причинности. Например, восьмой отсчет входного сигнала должен влиять только на восьмой отсчет выходного сигнала или на отсчеты с большим порядковым номером. Система, основанная на таком принципе, называется причиной (causal) или казуальной. Хотя, цифровая система не обязательно должна работать по этому принципу.

Как показано на рисунке 4.16, импульсная характеристика причинной системы обязана иметь нулевые значения для всех отрицательных отсчетов. Посмотрим на это с точки зрения свертки относительно входного сигнала. Чтобы быть причинной, отсчет n входного сигнала должен влиять только на отсчет n и отсчеты с большим, чем n номером, выходного сигнала. В общем случае, термин причинный относится к любому сигналу, имеющему нулевые значения для отрицательных отсчетов, а не только к импульсной характеристике.

Рисунок 4.16 Импульсные характеристики казуальных (причинных) и неказуальных систем

9. Фазовая характеристика фильтра

Форма импульсной характеристики фильтра связана с его фазовой характеристикой. Как показано на рисунке 4.17 – сигнал имеет нулевую фазовую характеристику (zero phase) если он симметричен относительно нулевого отсчета. Сигнал имеет линейную фазовую характеристику(linear phase) если он симметричен относительного любого отсчета, не равного нулю. Т.е. сигнал с линейной фазовой характеристикой может быть преобразован в сигнал с нулевой фазовой характеристикой путем сдвижки. Сигнал имеет нелинейную фазовую характеристику (nonlinear phase) если он несимметричен.

Рисунок 4.17 Системы с нулевой, линейной и нелинейной фазовыми характеристиками

Взаимосвязь между фазой и симметрией хорошо видна в частотной области. Частотный спектр сигнала состоит из двух частей – амплитудная и фазовая (АЧХ и ФЧХ) составляющие. Если частотный спектр сигнала симметричен относительно нуля – сигнал имеет нулевую фазовую характеристику. Если частотный спектр сигнала симметричен относительно некоторого ненулевого значения, то фазовая характеристика такого сигнала представляется прямой линией, т.е. – линейна. Если частотный спектр сигнала несимметричен, то фазовая характеристика его нелинейная.

Термин линейная или нелинейная фазовая характеристика никоим образом не связаны с понятием линейная система. Линейная система может обладать любой фазовой характеристикой.