ЛК4(д) > Свойства свертки сигналов. Корреляция

Тема: Основные математические свойства свертки: коммутативность, ассоциативность, дистрибутивность, перенос между входом/выходом и «Центральная граничная теорема». Корреляция сигналов.

10. Математические свойства свертки

1) Свойство коммутативности или перестановки

В математическом виде свойство перестановки выглядит следующим образом:

        (4.11)

На словах это свойство можно выразить так – порядок, в котором происходит свертка двух сигналов, не имеет значения. Для линейных систем, входной сигнал и импульсная характеристика взаимозаменяемы, а выходной сигнал остается без изменений. Хотя, на практике, физический смысл этих двух сигналов существенно различен.

2) Свойство ассоциативности или сочетательности.

Свойство сочетательности распространяется на операцию свертки для трех сигналов. В математическом виде это выглядит так:

        (4.12)

Свойство сочетательности используется при описании каскадного способа соединения внутри системы. Две подсистемы соединяются каскадом, если выход одной подсистемы является входом другой подсистемы. Порядок каскадирования не влияет на выходной сигнал. Любое количество подсистем может быть заменено одной системой, если её импульсная характеристика представляет свертку импульсных характеристик всех подсистем.

3) Свойство дистрибутивности или распределенный закон.

В математической форме этот закон выглядит так:

        (4.13)

Свойство дистрибутивности описывает функционирование параллельных систем с сумматором на выходе. Это свойство позволяет заменить несколько параллельно включенных подсистем одной системой с импульсной характеристикой, соответствующей сумме импульсных характеристик всех подсистем.

4) Перенос между входом и выходом

Это свойство не является формальным математическим свойством, оно позволяет понять наиболее общий случай при обработке сигналов. Как показано на рисунке 4.18, допустим, что линейная система принимает сигнал , порождая . Если входной сигнал претерпел некоторые изменения, соответствующие линейному закону, и стал , то это приведет к появлению на выходе системы сигнала . Как же изменится выходной сигнал? Изменения выходного сигнала будут подчиняться тому же линейному закону, что и изменения входного сигнала. Например, если амплитуда входного сигнала возросла в 2 раза, то и амплитуда выходного сигнала возрастает в 2 раза. Если входной сигнал прошел через некоторый фильтр, то и выходной сигнал будет таким же, как после прохождения через такой же фильтр.

Рисунок 4.18 Перенос между входом и выходом

5) Центральная граничная теорема

Центральная граничная теорема – очень важный инструмент теории вероятности, объясняющий природу Гауссового распределения плотности вероятности в реальном мире. В упрощенном виде, центральная теорема устанавливает, что Гауссово распределение можно получить в результате суммирования нескольких случайных процессов.

Эта теорема имеет одно интересное применение для операции свертки. Если импульсоподобный сигнал свернуть несколько раз с самим собой, то в результате получится Гауссиан. Уже после третей операции получится импульс с формой Гауссиана – т.е. сигнал стремится к Гауссиану очень быстро. Ширина полученного Гауссиана (т.е. его СКО) равна ширине исходного импульса, умноженного на квадратный корень количества операций свертки.

11. Корреляция (correlation) сигналов

Принцип корреляции лучше объяснить на примере. На рисунке 4.19 показаны основные элементы радара. Передающая антенна излучает в направлении цели короткий радиоимпульс. Приемный сигнал состоит из двух составляющих – сдвинутой и уменьшенной части излучаемого сигнала и случайного шума. Время между излученным и принятым импульсами несет информацию о дальности до объекта. Задача коррелятора – наиболее точно определить момент поступления сигнала известной формы.

Рисунок 4.19 Радиолокационная система

Корреляция – математическая операция, напоминающая операцию свертки. Так же, как и в свертке, в корреляции из двух исходных сигналов формируется третий. Этот третий сигнал называется взаимной корреляцией (cross-correlation) двух входных сигналов. Если входной сигнал скоррелировать с самим собой, то результат будет автокорреляцией (autocorrelation). На рисунке 4.20 показана корреляционная машина (очень похожа на сверточную машину). Здесь —принимаемый сигнал,—сигнал взаимной корреляции.

Рисунок 4.20 Корреляционная машина

Сигнал обычно называется целевой сигнал (он записан внутри корреляционной машины). Каждый отсчет сигнала вычисляется при движении корреляционной машины слева направо. Выбранные отсчеты входного сигнала перемножаются с соответствующими отсчетами целевого сигнала, полученные произведения складываются, и получается отсчет выходного сигнала.

Амплитуда каждого отсчета сигнала взаимной корреляции несет информацию о степени совпадения принимаемого сигнала с целевым сигналом в соответствующей точке. Таким образом, пик взаимокорреляционного сигнала будет в момент совпадения принимаемого сигнала с целевым.

Если на входе приемника присутствует только шум, то на выходе коррелятора тоже будет шум. Полезный сигнал на выходе коррелятора всегда симметричен (даже если целевой сигнал несимметричен) и его ширина вдвое превышает ширину целевого сигнала. Запомним, что взаимная корреляция используется для выделения целевого сигнала, а не для восстановления его формы.

Корреляция – оптимальный способ выделения известного сигнала в случайном шуме (по сравнению с другими линейными системами). Применение корреляции для выделения сигнала известной формы часто называют математической фильтрацией (matched filtering).

Корреляционная и сверточная машины очень похожи между собой, за исключением небольшого отличия. Сигнал внутри сверточной машины имеет зеркальное отражение (т.е. номера отсчетов возрастают справа налево). В корреляционной машине зеркального отражения сигнала нет, и номера отсчетов расположены в нормальном порядке. Т.е. отличием этих двух операций является только разворот сигнала. Поэтому возможно представить операцию корреляции в математической форме операции свертка. Т.е., если уравнения для свертки записывается в виде:

    ,    (4.14)

то для взаимной корреляции это уравнение можно записать так:

    ,    (4.15)

где — указание на необходимость зеркального поворота сигнала .

Свертка представляет соотношение между входным сигналом и импульсной характеристикой системы. Корреляция – это способ выделения известного сигнала на фоне шумов. Математическая схожесть этих методов случайна!