ЛК4(а) > Импульсное разложение сигналов и операция свертки

Тема: Разложение сигналов на простые составляющие. Понятие дельта функции и операции свертки над сигналами

1. Представление синалов любой сложности в виде импульсов

Сложный сигнал может быть разложен на некоторое количество простых составляющих, называемых импульсами. Импульс – сигнал, состоящий из одного ненулевого отсчета. Такое разложение позволяет анализировать отдельный импульс. Напомним одно из фундаментальных положений ЦОС – входной сигнал можно разложить на ряд составляющих, которые пропускаются через линейную систему, а результирующий выходной сигнал затем синтезируется (складываются отклики от всех составляющих). Полученный таким образом выходной сигнал полностью соответствует отклику системы на исходный дискретный сигнал. Из всего многообразия способов разложения исходного сигнала наиболее употребительны два – импульсное разложение и разложение Фурье. Математическая процедура обработки сигнала при импульсном разложении называется сверткой (convolution). Свертка применяется как для дискретных, так и для непрерывных сигналов, только для непрерывных сигналов математический аппарат более сложен.

Рассмотрим два основных понятия, широко применяемых в ЦОС. Дельта-функция представляет собой один нормированный отсчет, равный 1, а все остальные отсчеты равны 0 (рисунок 4.1). Дельта-функция еще называется единичным импульсом. Второе понятие – импульсная характеристика (impulse response). Исходя из названия – импульсная характеристика является реакцией системы на единичный импульс (дельта-импульс). Две различные системы имеют отличающиеся друг от друга импульсные характеристики. Импульсная характеристика устройства обозначается символом .


Рисунок 4.1 Дельта-функция

Любой импульс можно представить как сдвинутую на некоторое количество отсчетов, и отмасштабированную по амплитуде, дельта-функцию. Например: . Это положение часто применяется в ЦОС. Используя свойства гомогенности и инвариантности к сдвигу линейных систем, можно утверждать, что выходной сигнал, при подаче на вход линейной системы сигнала , будет соответствовать значению . Другими словами, выходной сигнал соответствует импульсной характеристике системы, сдвинутой и отмасштабированной в соответствии с входным сигналом. Если Вам известна импульсная характеристика системы, Вы всегда определите её реакцию на любой импульс.

2. Выполнение операции свертки над сигналом

В общем виде, анализ прохождения сигнала через линейную систему выглядит так:

Во-первых, входной дискретный сигнал раскладывается на последовательность импульсов, каждый из которых представляет сдвинутую и отмасштабированную дельта-функцию.

Во-вторых, выходным сигналом для данной последовательности импульсов является сдвинутая и отмасштабированная последовательность импульсных характеристик системы.

В-третьих, искомый выходной сигнал получается после сложения всех сдвинутых и отмасштабированных импульсных характеристик.

Другими словами, если Вам известна импульсная характеристика системы, Вы всегда сможете определить выходной сигнал для любого входного сигнала. Т.е., Вы знаете всё о системе. Это полная характеристика линейной системы.

Свертка – это такая же математическая операция, как сложение, умножение или интегрирование. При сложении из двух исходных чисел получается третье, при свертке из двух исходных сигналов получается третий сигнал. В теории линейных систем свертка используется для описания отношений между тремя сигналами: входным сигналом, импульсной характеристикой и выходным сигналом.

В виде уравнения, свертка записывается следующим образом:

    ,    (4.1)

где     — входной сигнал;

     — импульсная характеристика линейной системы;

    — выходной сигнал.

Другими словами, выходной сигнал равен свертке входного сигнала с импульсной характеристикой системы. Операция свертки обозначается «звездочкой» *.

На следующих рисунках показаны примеры прохождения входного сигнала через различные линейные системы. Входной сигнал – смесь медленно меняющегося по линейному закону сигнала с тремя периодами высокочастотного синусоидального сигнала. На рисунке 4.2 – входной сигнал подается на ФНЧ. На рисунке 4.3 – этот же сигнал подается на ФВЧ. На рисунках 4.4 и 4.5 – этот же сигнал пропускается через другие системы. Рисунок 4.4 – сигнал проходит через инвертирующий аттенюатор (сигнал инвертируется, а его амплитуда уменьшается). Рисунок 4.5 – этот же сигнал проходит через дискретный дифференциатор (первая производная), выходной сигнал несет информацию о крутизне изменения входного сигнала.

Рисунок 4.2 Прохождение сигнала через ФНЧ

Рисунок 4.3 Прохождение сигнала через ФВЧ

Рисунок 4.4 Прохождение сигнала через инвертирующий аттенюатор

Рисунок 4.5 Прохождение сигнала через дискретный дифференциатор

Количество отсчетов в выходном сигнале равно количеству отсчетов входного сигнала плюс количество отсчетов импульсной характеристики минус 1. Для приведенных примеров, входной сигнал – 81 отсчет (с 0 по 80), импульсная характеристика – 31отсчет (с 0 по 30), выходной сигнал – 111 отсчет (с 0 по 110). Реальные входные сигналы могут содержать сотни, тысячи и даже миллионы отсчетов. Реальные импульсные характеристики гораздо меньше – от нескольких отсчетов до нескольких сотен отсчетов.

Существуют два подхода для объяснения операции свертки в ЦОС. Со стороны входного сигнала – какую часть информации вносит каждый отсчет входного сигнала в результирующий выходной сигнал. Со
стороны выходного сигнала – какую часть информации от всех отсчетов входного сигнала содержит каждый отсчет выходного сигнала.

Проанализируем выполнение операции свертка относительно этих двух подходов. Первый подход важен потому, что он дает концептуальное понимание свертки в ЦОС. Второй подход раскрывает математический аппарат выполнения этой операции. Очень важно разобраться с этими двумя подходами.