ЛК3(в) > Разложение сигналов. Приближение нелинейных систем к линейным

Тема: Способы разложения сигнала – Импульсное разложение и Разложение Фурье. Способы приближения нелинейных систем к линейным

6. Метод замещения при анализе сигналов

Основная идея метода замещения – замена сложной проблемы несколькими более простыми. Существуют два основных способа разложения сигнала при его обработке: импульсное разложение (impulse decomposition) и разложение Фурье (Fourier decomposition). Кроме этих способов, существуют ещё несколько разных методов разложения.

При импульсном разложении сигнал, содержащий N отсчетов, разбивается на N составляющих сигнала, каждая из составляющих которого содержит только одну точку, совпадающую с одним из значений исходного сигнала, а остальные составляющие – нулевые (рисунок 3.12).


Рисунок 3.12 Пример импульсного разложения сигнала

Сигнал, состоящий из одного ненулевого отсчета, называется импульсом (impulse). Импульсное разложение позволяет разложить сигнал на серию одиночных импульсов. Таким образом, характеристика системы определятся как реакция на импульс. Если знать реакцию системы на одиночный импульс, то легко просчитать ее реакцию на любой входной сигнал. Такой метод называется сверткой (convolution).

Разложение сигнала на составляющие типа «скачек» (step decomposition) – при таком разложении сигнал, состоящий из N отсчетов, раскладывается на N составляющих, каждая из которых содержит N отсчетов (рисунок 3.13). Каждая составляющая сигнала представляет собой функцию типа «скачек» (step), в которой первые отсчеты равны нулю, а последующие отсчеты имеют некоторое постоянное значения. Рассмотрим разложение сигнала , состоящего из N отсчетов, на составляющие:. Составляющая сигнала (k-тый компонент) состоит из k-1 отсчетов, равных 0, а остальные точки имеют значение, равное . Например, 5-я компонента сигнала будет состоять из нулей для отсчетов с 0 по 4, а следующие отсчеты будут иметь одинаковое значение, равное (разница между 4 и 5 отсчетом в исходном сигнале). В некоторых случаях, составляющая имеет все отсчеты, равные значению отсчета . Если импульсное разложение представляет сигнал единственной точкой на всем интервале, то разложение на функции типа «скачек» представляет сигнал разницей между двумя соседними отсчетами. Таким образом, система характеризуется своей реакцией на изменения во входном сигнале.


Рисунок 3.13 Разложение сигнала на составляющие типа «скачек»

Разложение сигнала на четные/нечетные составляющие позволяет разложить исходный сигнал на две компоненты. Одна имеет четную симметрию (even symmetry), а другая – нечетную симметрию (odd symmetry). Для сигнала, состоящего из N отсчетов, четная симметрия означает, что отсчеты сигнала зеркально отражаются относительно точки . Таким образом, отсчет с номером должен быть равен отсчету, а отсчет с номером , должен быть равен . Соответственно, нечетная симметрия говорит о том, что соответствующие отсчеты сигнала имеют одинаковые значения по амплитуде, но противоположного знака, т.е. , а и т.д. Данное разложение гарантирует, что сигнал содержит четное количество отсчетов, а номера отсчетов нумеруются от 0 до N-1. Значения отсчетов для четной и нечетной составляющих сигнала определяются по следующему уравнению:

         (3.1)

    ,    (3.2)

где     — четная последовательность;

— нечетная последовательность.

Т.к. данный способ расчета основан на циклической (кольцевой) симметрии, то нулевые отсчеты определяются следующим образом и . Все составляющие состоят из N отсчетов, а индексы изменяются от 0 до .

Такой способ разложения – один из важных элементов ЦОС, называемый циклической (кольцевой) симметрией (circular symmetry). В основе этого метода лежит способ соединения последнего отсчета с его первым отсчетом.

Как после точки следует точка , так после точки следует точка . Это как змея, ухватившая себя за хвост. Если рассматривать четную и нечетную последовательности с точки зрения кольцевой симметрии, естественно, имеются две оси симметрии – в точке и в точке . Например, для четной последовательности, симметрия относительно точки гарантирует, что значения в точке равно значению в точке , а значения в точке равно значению в точкеи т.д. Для нечетной последовательности значения в точке 0 и точке всегда равно нулю. Для четной последовательности значения в этих точках всегда равно значению в исходном сигнале.

Сама идея цикличности сигнала для такого способа разложения не очень важна, эта идея более важна для анализа Фурье – когда сигнал рассматривается как непрерывная последовательность с определенным периодом повторения. Для такого способа разложения важно, что сумма четной и нечетной последовательности дает нам исходный сигнал.

Чередующееся (interlaced) разложение позволяет разделить исходный сигнал на две составляющие – содержащие четные отсчеты сигнала и нечетные отсчеты сигнала (здесь нет четной и нечетной симметрии сигнала). Для формирования составляющей с четными отсчетами сигнала берется исходный сигнал, в котором все нечетные отсчеты заменяются нулевым значением. Аналогично получается составляющая с нечетными отсчетами (четные отсчеты сигнала заменяются нулевыми) (рисунок 3.14).


Рисунок 3.14 Чередующееся разложение сигнала

На первый взгляд такой способ разложения сигнала прост и неинтересен. Но данный способ разложения является базовым для широко применяемого в ЦОС алгоритма обработки данных – быстрого преобразования Фурье (Fast Fourier Transform, FFT). Идея этого алгоритма как раз заключается в многократном разложении
сигнала способом чередования, вычисления преобразования Фурье для отдельных компонентов сигнала и последующий синтез с целью получения выходного сигнал. Такой способ позволяет сократить время вычисления преобразования Фурье в сотни или тысячи раз.

Разложение Фурье (Fourier Decomposition) – имеет серьезную математическую основу и не столь прозрачно и понятно. С помощью данного разложения любой сигнал, состоящий из N отсчетов, может быть разложен на N+2 компонентов, половина из которых – синусоидальные сигналы, а другая половина – косинусоидальные сигналы. Наименьшая частота этих гармонических колебаний (называемых и ) равна нулю (ноль колебаний за период в N отсчетов), т.е. соответствует постоянному уровню (DC). Следующие гармонические составляющие и , и , и содержат 1, 2 или 3 периода колебаний сигнала на интервале N отсчетов, соответственно. Так как частота колебаний этих составляющих фиксирована, то все изменения могут заключаться только в амплитуде синусных и косинусных составляющих (рисунок 3.15).

Разложение Фурье является очень важным по трем причинам. Во-первых, большое количество сигналов формируется путем сложения нескольких синусоидальных сигналов (хороший пример – аудиосигналы). Разложение Фурье позволяет провести непосредственный анализ информации, содержащейся в таких сигналах. Во-вторых, линейные системы реагируют на синусоидальный сигнал однозначно – выходной сигнал тоже будет синусоидальным. В этом случае, реакция системы проявится в изменении амплитуды или фазы входного сигнала, т.е. реакция системы определяется однозначно. В-третьих, разложение с применением математических преобразований, называемых анализом Фурье (Fourier analysis), имеет ряд преимуществ перед преобразованием Лапласа и Z-преобразованием. Многие алгоритмы ЦОС основаны на анализе Фурье. Основная идея разложения Фурье заключается в том, что сумма всех гармонических составляющих сигнала позволяет восстановить исходный сигнал.


Рисунок 3.15 Пример разложения сигналов на гармонические составляющие.

7. Анализ нелинейных систем путем приближения к линейным

Особенность применения линейных систем заключается в том, что существует один из методов анализа нелинейных систем, который заключается в приближении нелинейных систем к линейным системам. Для этого существуют три способа.

Во-первых, игнорирование нелинейности. Если нелинейность мала, ею можно пренебречь, т.е. система анализируется как линейная. Ошибка, которая в этом случае получится, соизмерима с шумами.

Во-вторых, принять диапазон изменений входного сигнала очень малым. Большинство нелинейных систем ведут себя линейно при малых входных сигналах. Например, транзистор очень нелинейный элемент для сигналов с большой амплитудой, но ведет себя линейно, если амплитуда входного сигнала не превышает нескольких милливольт.

В-третьих, применение линеаризирующих преобразований. Например, если необходимо выполнить перемножение сигналов , можно изменить сигналы на их логарифмы, и заменить операцию умножения операцией сложения: . Все это называется линеаризацией сигналов. Такая техника используется при обработке изображений.