ЛК3(б) > Дополнительные свойства линейных сиcтем. Анализ сигналов

Тема: Линейные системы и их свойства – статическая линейность, точность воспроизведения гармонического сигнала, коммутативность, перестановка. Масштабирование, сложение и декомпозиция сигналов.

3. Дополнительные свойства линейных систем: static linearity sinusoidal fidelity

Свойства гомогенности, аддитивности и инвариантности к сдвигу являются важными, поскольку они представляют математическую основу для определения линейных систем. Однако, для большинства научных работников и инженеров, этих свойств недостаточно для характеристики линейных систем. Есть еще два свойства, помогающие определить линейную систему, статическая линейность (static linearity) и точность воспроизведения гармонического сигнала (sinusoidal fidelity). Эти свойства менее важны с математической точки зрения, но очень полезны в описании линейных систем.

Статическая линейность определяет реакцию линейной системы на неменяющийся входной сигнал, т.е. на постоянный (DC) или статический сигнал (static). Статическая характеристика линейной системы проста – выходной сигнал равен произведению входного сигнала на константу. Графическим представлением такой характеристики является прямая линия, проходящая через начало координат. Хорошим примером статических систем является закон Ома для резисторов или закон Гука для пружины (рисунок 3.5). Примером статически нелинейных систем являются: вольтамперная характеристика pn-перехода смесительного диода или кривая намагничивания железа (рисунок 3.6).


Рисунок 3.6 Пример статически нелинейной системы.

Все линейные системы обладают свойством статической линейности. Обратное утверждение тоже верно, но не всегда. Существуют системы, обладающие свойством статической линейности, но проявляющие нелинейность при изменениях входного сигнала. Достаточно широкий класс систем очень просто описывается и характеризуется только свойством статической линейности. Таким системам неважно, изменяется входной сигнал или он статичен. Это, так называемые, системы без запоминания (memory less), т.е. системы, в которых выходной сигнал зависит от текущего состояния входного сигнала, без учета его предыдущих состояний. Например – мгновенное значение тока через резистор зависит только от мгновенного значения напряжения, приложенного к нему, и не зависит от закона изменения входного сигнала. Если система обладает статической линейностью и не обладают памятью, то такая система должна быть линейной.

Еще одним важным свойством линейных систем являются свойство точности передачи гармонического сигнала (sinusoidal fidelity), отражающим реакцию системы на входной гармонический сигнал – если на вход линейной системы поступает синусоидальный сигнал, то на выходе системы будет тоже синусоидальный сигнал с частотой, равной частоте входного сигнала. Синусоидальный сигнал – это не только сигнал, взятый для описания этих свойств. Понятно, что если на вход линейной системы подать меандр, то на её выходе тоже будет меандр. Входной синусоидальный сигнал гарантирует появление на выходе линейной системы синусоидального сигнала, лишь два параметра которого могут отличаться от параметров входного сигнала – амплитуда и фаза. Это должно быть понятно – любая электрическая цепь описывается своей частотой характеристикой (frequency response), отражающей зависимость амплитуды и фазы выходного сигнала от частоты.

Закономерен вопрос – если система всегда генерирует выходной синусоидальный сигнал в ответ на входной синусоидальный сигнал, то гарантировано ли, что такая система линейна? Ответ – нет, хотя для большинства систем это справедливо. Например, синтезатор частоты, который анализирует частоту входного сигнала и генерирует соответствующее этой частоте синусоидальное колебание. Такая система не является линейной – она не обладает свойствами аддитивности.

Лучший способ проверки системы на соответствие свойствам линейности – экспериментальная проверка. К входу системы подключается генератор гармонических колебаний, к выходу – осциллограф. При подаче на вход системы синусоидального сигнала, на выходе системы должен тоже наблюдаться синусоидальный сигнал. Выходной сигнал не должен иметь амплитудных ограничений положительной и отрицательной полуволны, сигнал должен быть симметричным, не должно быть искажений сигнала при переходе через ноль и т.д. Дальше, необходимо изменять амплитуду входного сигнала и наблюдать соответствующие изменения амплитуды выходного сигнала (в линейной системе эти изменения будут пропорциональны). Затем, следует изменять частоту входного сигнала для проверки адекватности изменения частоты выходного сигнала. При изменении частоты входного сигнала в выходном сигнале могут происходить изменения амплитуды и фазы, что допустимо для линейных систем. Для некоторых частот выходной сигнал может быть нулевым (т.е. синусоида с нулевой амплитудой). Все это будет свидетельствовать о том, что исследуемая система является линейной.

4. Системы, состоящие из двух или более линейных систем

Система, состоящая из двух или более линейных систем, обладает свойством коммутативности (commutative) или перестановки. Представьте себе две системы, соединенные каскадом, т.е. выход одной системы является входом другой системы. Если обе системы линейны, то и результирующая система будет линейной (рисунок 3.7).

Рисунок 3.7 Свойство коммутативности линейной системы.

Свойство коммутативности говорит о том, что порядок каскадирования подсистем в общей системе не влияет на свойства всей системы. Это свойство используется в электронике. Представьте себе электронную систему, состоящую из двух каскадов – усилителя и фильтра. Для такой системы порядок расположения каскадов не имеет значения. Но если суммарная система не обладает свойствами линейности, то порядок расположения отдельных подсистем является важным – например, модулирующий узел, узел отсечки постоянного напряжения, пр.

Следующий шаг в понимании линейных систем – системы с несколькими входами/выходами. Система с несколькими входами/выходами является линейной, если она состоит из линейных подсистем и сумматоров сигналов. Сложность системы не имеет значения, главное чтобы она не содержала нелинейных составляющих. Выходные сигналы являются результатом суперпозиции (superposition), суммой входных сигналов и выходных сигналов подсистем (рисунок 3.8).


Рисунок 3.8 Линейная система с несколькими входами/выходами

Не столь очевидна ситуация при перемножении сигналов. Это потому, что операция перемножения может быть как линейной, так и нелинейной. Система, которая перемножает входной сигнал на константу, является линейной. Это усилители или аттенюаторы (коэффициент усиления которых больше или меньше единицы, соответственно). С другой стороны, система в которой осуществляется перемножение одного сигнала на другой, является нелинейной. Представьте себе перемножитель двух синусоидальных сигналов с разной частотой – результирующий сигнал будет нелинейным (рисунок 3.9).


Рисунок 3.9 Пример линейности и нелинейности операции умножения.

Другая, не столь очевидная ситуация, относится к добавлению паразитных сигналов – например постоянного смещения (DC) или теплового шума. Такое сложение является линейным или нелинейным? Ответ зависит от того, где эти сигналы формируются и добавляются. Если паразитные сигналы формируются и добавляются внутри системы – процесс нелинейный, т.к. синусоидальный входной сигнал не приводит к появлению синусоидального выходного сигнала. С другой стороны, если паразитный сигнал является внешним, и поступает на один из входов системы, то такая система является линейной, т.к. в ней присутствует только суммирование.

5. Способы формирования сигналов в линейных системах

Для линейных систем допустимы только два способа формирования сигналов – это масштабирование (scaling)(умножение сигнала на константу) и сложение. Перемножение одного сигнала на другой недопустимо. Процесс формирования выходного сигнала из нескольких входных с помощью масштабирования и суммирования, называется синтезом(synthesis).

Декомпозиция (decomposition) или разложение – операция, противоположная синтезу, при которой один сигнал раскладывается на два или более отдельных компонента (составляющие). Это более гибкая операция, чем синтез, т.к. количество вариантов разложения одного сигнала на составляющие может быть бесконечно большим (рисунок 3.10).


Рисунок 3.10 Пример декомпозиции и синтеза сигнала

Сейчас мы вплотную подошли к одному из основополагающих принципов ЦОС – суперпозиции (superposition) или наложения, который применяется для анализа сигналов и систем. Представьте себе, что входной сигнал , проходя через линейную систему, формирует на выходе сигнал . Входной сигнал может быть разложен на группу более простых сигналов: и т.д. (рисунок 3.11). Они называются компонентами входного сигнала. Дальше, каждый из компонентов входного сигнала индивидуально пропускается через систему, формируя набор компонентов выходного сигнала: и т.д. Из компонентов выходного сигнала синтезируется полный выходной сигнал .



Рисунок 3.11 Объяснение принципа суперпозиции

Важный момент: выходной сигнал, полученный таким способом, полностью соответствует выходному сигналу, полученному при пропускании полного входного сигнала через систему. Это очень важно! Для понимания, какая будет реакция системы на сложный входной сигнал, достаточно знать какая будет реакция на простейшие составляющие этого сигнала. На языке цифровой обработки сигналов, входные и выходные сигналы представляют собой суперпозицию (сумму). Это основа большинства методов обработки сигналов.