ЛК3(а) > Основные свойства линейных систем

Тема: Типы систем. Линейные системы и их свойства – аддитивность, гомогенность, инвариантность

Один из наиболее часто применяемых методов цифровой обработки сигналов основывается на разложении исходного сигнала с последующим его анализом. Такой принцип называется суперпозицией (superposition) или наложением. Обрабатываемый сигнал разделяется на простейшие компоненты, которые обрабатываются индивидуально, а затем восстанавливается суммарный сигнал. Принцип суперпозиции используется только для линейных систем, и основан на применении центральной математической теоремы. Большинство научных и инженерных задач подпадают под данную категорию. В этой лекции мы познакомимся со следующими важнейшими понятиями теории ЦОС – какие системы называются линейными, какие существуют способы разложения сигнала на составляющие компоненты, как используется принцип суперпозиции для обработки сигналов.

1. Виды систем: непрерывные и дискретные

Как известно, сигналы описывают зависимость одного параметра от другого (например, напряжения от времени). Системами называются любые процессы, порождающие выходной сигнал в зависимости от поступающего на них входного сигнала. Непрерывные системы работают с непрерывными входными и выходными сигналами (как в аналоговой электронике). Дискретные системы работают с дискретными входными и выходными сигналами (например, компьютерные программы, работающие с массивами данных).


Рисунок 3.1 Непрерывные и дискретные системы

Понимание принципа работы системы и её грамотное описание – очень важный момент для решения различных прикладных задач. Конечно, понимание принципов работы всех существующих систем в мире, задача непосильная. Наиболее часто используемые системы попадают в категорию линейных систем. И это очень важно. Поэтому, в начале необходимо определить, что же такое линейные системы. Т.е., какими же свойствами обладают линейные системы, и как они описываются в современной электронике, программах и других системах обработки сигналов.

2. Линейные системы

Система называется линейной, если она обладает двумя математическими свойствами: гомогенностью (homogeneity) или равномерностью (рисунок 3.2) и аддитивностью (additivity) (рисунок 3.3). Любая система может обладать гораздо большим набором свойств:


Рисунок 3.2 Свойство гомогенности системы




Рисунок 3.3 Свойство аддитивности системы

Но если она не обладает хотя бы одним из двух вышеперечисленных, то такая система не является линейной. Третье свойство, нечувствительность к сдвигу или инвариантность (shift invariance), не является строгим требованием для линейных систем, но оно является основополагающим свойством для большинства алгоритмов ЦОС (рисунок 3.4). Если Вам попадается термин линейная система в приложениях ЦОС, Вы должны помнить, что для нее действительно и свойство нечувствительности (инвариантности) к сдвигу. Эти три основных математических свойства определяют характер применения линейных систем.


Рисунок 3.4 Свойство инвариантности системы

Свойство гомогенности говорит о том, что изменения амплитуды входного сигнала вызывают соответствующие изменения амплитуды выходного сигнала. Или, в математической терминологии, если реакцией на входной сигнал с амплитудой является выходной сигнал с амплитудой , то при подаче на вход системы сигнала с амплитудой на выходе будет сигнал с амплитудой для любого входного сигнала и постоянной k.

Хорошим примером гомогенной и негомогенной системы одновременно является резистор. Если входным сигналом является напряжения , а выходным сигналом является ток, протекающий через резистор , то система – гомогенна. Изменения входного сигнала вызывают пропорциональные изменения выходного сигнала – это гарантируется законом Ома (рисунок 3.5).


Рисунок 3.5 Пример систем, обладающих свойством гомогенности.

Если входным сигналом является напряжения , а выходным сигналом – рассеиваемая на резисторе мощность , то такая система негомогенна. Выходная мощность пропорциональна квадрату напряжения, т.е. если входной сигнал изменился в два раза, то выходной сигнал изменится в четыре раза.

Рассмотрим свойство аддитивности. Представьте себе систему, которая реагирует на входной сигнал выходным сигналом . Для другого входного сигнала реакцией системы будет выходной сигнал . Система называется аддитивной, если ее реакция на сумму входных сигналов будет сумма выходных сигналов , для всех возможных входных сигналов. Другими словами, суммирования входных сигналов порождает адекватную сумму входных сигналов системы.

Хорошим примером аддитивной системы является телефонный разговор, когда с Вами говорят два абонента по параллельным телефонам. Примером неаддитивной системы является смесительный каскад в радиопередатчике. Здесь присутствуют два сигнала: информационный низкочастотный сигнал и несущая высокочастотная составляющая. Эти два сигнала складываются нелинейно на смесительном диоде – в результате появляется третий сигнал – несущая частота, модулированная информационным сигналом.

Свойство инвариантности к сдвигу говорит о том, что временной сдвиг входного сигнала приводит к аналогичному временному сдвигу выходного сигнала в линейной системе. Или, формальным языком, если реакцией системы на входной сигнал является выходной сигнал , то для входного сигнала реакцией будет выходной сигнал , для любых входных сигналов и постоянной s. Добавления константы s к независимой переменной n приводит к тому, что на графическом представлении сигнала, он сдвигается по оси x на количество отсчетов, равное постоянной s.

Свойство инвариантности важно тем, что оно подтверждает неизменность характеристик системы во времени. Другими словами, если появление 1 на входе системы вызывает появление 0 на её выходе, то появление другой 1 вызывает появление такого же 0 в другой момент времени. Большинство реально работающих систем обладают свойством инвариантности к сдвигу.

Таким образом, если свойства гомогенности и аддитивности являются основными свойствами для всех линейных систем (не только в области электроники), то свойство инвариантности к сдвигу является дополнительным свойством линейных систем, работающих с сигналами.