ЛК2(a) > Дискретизация и квантование аналоговых сигналов

Тема: Дискретизация и квантование. Цифро-аналоговое преобразование сигналов.

1. Аналого-цифровое и цифро-аналоговое преобразование сигналов

Большинство сигналов, с которыми сталкиваются инженеры – электронщики, являются непрерывными. Аналого-цифровое и цифро-аналоговое преобразования позволяют цифровым компьютерам обрабатывать эти сигналы. Цифровые сигналы отличаются от соответствующих непрерывных сигналов двумя основными параметрами: они дискретизованы и квантованы. Естественно, что при переходе от аналогового сигнала к цифровому, часть информации теряется. Все это зависит от частоты дискретизации, количества бит при квантовании сигнала по уровню и типа аналогового фильтра, применяемого при преобразовании сигнала

Процесс преобразования аналогового сигнала в цифровую форму разделяется на два этапа: дискретизация и удержание (sample-and-hold, S/H) и непосредственно аналого-цифровое преобразование (analog-to-digital conversion, ADC). На этапе дискретизации и удержания значение входного сигнала запоминается и удерживается неизменным на время его преобразования в цифровой вид. Изменения входного сигнала в течение интервала удержания игнорируются. Т.о., процесс дискретизации преобразовывает независимую переменную (время и пр.) из непрерывной величины в дискретную. В процессе квантования каждому дискретному отсчету аналогового сигнала ставится в соответствие цифровой код. Другими словами, в процессе квантования,
зависимая переменная преобразовывается из непрерывной величины в дискретную.

Эффекты, возникающие при дискретизации и квантовании, искажают исходный аналоговый сигнал. В процессе квантования, каждый отсчет цифрового сигнала может содержать максимальную ошибку равную . (Least Significant Bit – младший значащий разряд), что соответствует расстоянию между двумя соседними уровнями квантования. Другими словами, цифровой сигнал эквивалентен аналоговому сигналу плюс ошибки квантования, которые ведут себя как случайный шум. Т.е. можно утверждать, что для учета эффекта квантования, к исходному сигналу необходимо добавить случайный шум определенной величины. Величина шума квантования зависит от количества разрядов для представления числа. Разрядность преобразователя определяет точность представления данных.


Рисунок 2.1 Преобразование аналогового сигнала в цифровой сигнал.

2. Теорема Котельникова

Для правильного выбора частоты дискретизации, в ЦОС используется теорема дискретизации (теорема Котельникова, критерий Найквиста). Эта теорема гласит, что для преобразования аналогового сигнала в цифровой сигнал, без потери информации, частота дискретизации, как минимум, должна быть вдвое больше, чем наивысшая частота, присутствующая в спектре аналогового сигнала. Если частота дискретизации не удовлетворяет данному критерию (т.е. выбрана ниже), то происходит искажение входного сигнала, вызванное наложением частот (элайсинг, aliasing). Кроме искажения частоты, элайсинг искажает и фазу входного сигнала на 180о (т.е., фаза выходного сигнала будет принимать два значения – 0о и 180о).

Елайсингв статистике, обработке сигналов и смежных дисциплинах, еффект, который приводит к наложению, неотличимости разних неперервных сигналов при их дискретизации.

Рисунок 2.2 Два разных синусоидальных сигнала после оцифровки не отличаются: высокочастотный с частотой f > fs / 2 (красный) и низкочастотный с частотой fs < f (синій).

Понять переход от непрерывного сигнала к цифровому сигналу, представляющему cобой массив чисел, весьма сложно. Для представления этого процесса вводится промежуточный сигнал, который называется импульсная последовательность. Импульсная последовательность – непрерывный сигнал, состоящий из коротких импульсов (d-импульсов, дельта-импульсов), с амплитудой, соответствующей аналоговому сигналу и периодом повторения импульсов, равному периоду частоты дискретизации. Между импульсами значение сигнала равно нулю. Импульсная последовательность – это теоретический сигнал, а не сигнал, реально существующий в электронике. Информация, содержащаяся в импульсной последовательности, идентична цифровому сигналу.

Если теперь перейти к рассмотрению спектров сигнала, то для аналогового сигнала спектр является непериодической функцией и занимает строго определенную полосу частот. Спектр импульсной последовательности аналогичен спектру аналогового сигнала, но является периодическим. Период повторения его кратен частоте дискретизации, а полоса частот имеет свое зеркальное отражение (симметрию) относительно частоты дискретизации. Т.е. дискретизация порождает новые частоты.

3. Искажение сигналов при цифро-аналогов преобразовании

Теоретически, наиболее простой способ цифро-аналогового преобразования заключается в чтении значений отсчетов импульсов из памяти с последующим преобразованием их в импульсную последовательность. Для восстановления исходного аналогового сигнала, необходимо полученную импульсную последовательность пропустить через низкочастотный фильтр с частотой среза, равной половине частоты дискретизации. Это позволит исключить из сигнала спектральные составляющие, лежащие выше половины частоты дискретизации.

Математически это очень просто, но сгенерировать дельта-импульсы в электронике весьма сложная задача. Все микросхемы ЦАП удерживают полученное значение до прихода следующих обновляемых данных. Этот процесс называется удержанием нулевого порядка и эквивалентен режиму удержания АЦП. В частотной области это приводит к искажению спектра импульсной последовательности – он умножается на передаточную характеристику ЦАП, описываемую следующим выражением:

            (2.1)

В общем виде, выражение
называется функцией или . Аналоговый фильтр, восстанавливающий аналоговый сигнал из последовательности с удержанием нулевого порядка должен выполнять две функции: удалять из спектра сигнала все частоты, лежащие выше половины частоты дискретизации, и устранять эффект удержания нулевого порядка (умножать сигнал на функцию ).

Устранение эффекта удержания нулевого порядка можно осуществлять несколькими способами:

– игнорировать его (т.е. не устранять);

– построить соответствующий аналоговый фильтр на входе;

– использовать несколько частот дискретизации (multirate);

– использовать программную коррекцию сигнала до передачи его в ЦАП.

Для закрепления материала еще раз остановимся на особенностях аналоговых и цифровых сигналов. Информация, передаваемая цифровым сигналом, ограничивается двумя причинами. Во-первых, количество уровней дискретизации (бит) ограничивает разрешающую способность зависимой переменной, т.е. небольшое изменение амплитуды сигнала теряется в шуме квантования. Во-вторых, частота дискретизации ограничивает разрешающую способность независимой переменной, т.е. очень быстрые события в аналоговом сигнале теряются между отсчетами. Аналоговые сигналы тоже имеют ограничения, которые связаны с шумом и шириной полосы. Шум ограничивает измерения амплитуды аналогового сигнала. Возможность различать малейшие изменения аналогового сигнала во времени ограничена наивысшей частотой в спектре сигнала.

4. Базовая схема устройства для цифровой обработки сигналов. Аналоговые фильтры

Если рассмотреть блок-схему устройства, предназначенного для решения задач ЦОС, то в ней будут присутствовать два аналоговых фильтра. До АЦП, сигнал поступает на аналоговый ФНЧ, который удаляет все частотные составляющие спектра, лежащие выше частоты Найквиста (половины частоты дискретизации). Т.е. этот фильтр необходим для устранения эффекта наложения спектров (элайсинга), и он называется антиэлайсинговым фильтром. На выходе системы, цифровой сигнал с выхода ЦАП также проходит через ФНЧ с частотой среза, равной половине частоты дискретизации. Этот фильтр называется восстанавливающим, и с его помощью устраняется эффект удержания нулевого порядка. Для реализации аналоговых фильтров в электронике применяются три основных типа: Чебышева, Баттерворта и Бесселя. Каждый из этих фильтров отличается параметрами оптимизации.

Рисунок 2.3 Блок-схема устройства для цифровой обработки сигналов.

Наиболее распространенная форма для построения аналоговых низкочастотных фильтров – модифицированная схема Салливана-Кея. Это низкочастотный фильтр второго порядка (с двумя полюсами). Для повышения порядка фильтра применяется каскадное включение. Схема Салливана-Кея позволяет реализовать любой из трех типов фильтров – Чебышева, Баттерворта или Бесселя (все зависит от параметров пассивных компонентов). Для преобразования ФНЧ в ФВЧ в этой схеме достаточно поменять резисторы и конденсаторы местами.


Рисунок 2.4 Схема Салливана – Кея.

Рассмотрим некоторые характеристики этих трех классических фильтров. Первый из рассматриваемых параметров – крутизна спада АЧХ за частотой среза. Принцип работы ФНЧ заключается в том, что он пропускает все частоты ниже частоты среза (в полосе пропускания, pass band) и не пропускает все частоты, выше частоты среза (в полосе подавления, stop band). Эта характеристика наилучшая у фильтра Чебышева, затем – у фильтра Баттерворта, и хуже всех – у фильтра Бесселя. Следующий важный параметр – постоянство коэффициента усиления в полосе пропускания фильтра. И в фильтре Бесселя и в фильтре Баттерворта коэффициент усиления убывающий, а в фильтре Чебышева присутствуют пульсации (passband ripple).

Последний параметр – переходная характеристика (step response), показывает реакцию фильтра на резкое изменение входного сигнала (от одного значения к другому). В этом случае фильтр Чебышева и Баттерворта обладают перерегулированием (overshoot) и колебательностью (ringing). Фильтр Бесселя не имеет этих проблем.

Исходя из вышесказанного, приходим к следующему выводу: фильтр Чебышева оптимизирован по крутизне спада АЧХ, фильтр Баттерворта – по линейности в полосе пропускания, фильтр Бесселя – по переходной характеристике.

При выборе антиэлайсингового фильтра очень важно представлять себе какая информация содержится в аналоговом сигнале. Существуют множество способов представления информации, но все они разделяются на два основных типа – информация содержится во временной области или информация содержится в частотной области.

Хорошим примером сигнала, содержащего информацию в частотной области, является аудиосигнал. Для такого сигнала важно сохранить все частоты, содержащиеся в нем. Форма этих сигналов не имеет значения. В этом случае, в качестве антиэлайсингового фильтра, лучше выбирать фильтр Чебышева или Баттерворта.

Для сигналов, содержащих информацию во временной области, очень важно сохранение формы сигналов (например – сигналы ЭКГ в медицине). В этом случае фильтр Бесселя подходит лучше всего.