ЛК4(б) > Два различных подхода к объяснению операции свертки

Тема: Анализ операции свертки с применением двух подходов – со стороны входного сигнала и со стороны выходного

3. Подход к операции свертки со стороны входного сигнала

На рисунке 4.6 показан пример выполнения операции свертка: входной сигнал , состоящий из 9 отсчетов, поступает на вход системы, импульсная характеристика которой содержит 4 отсчета. В результате получается выходной сигнал , состоящий из 9 + 4 – 1 = 12 отсчетов.


Рисунок 4.6 Подход к операции свертка со стороны входного сигнала

Этот рисунок отображает подход к операции свертка со стороны входного сигнала (т.е. концептуального подхода) – входной сигнал раскладывается на импульсные составляющие, которые поступают в систему, а выходной сигнал является суммой откликов системы на эти составляющие. Каждый отсчет входного сигнала взаимодействует со сдвинутой импульсной характеристикой системы для получения соответствующего отклика. Девять полученных откликов складываются для получения выходного сигнала.

На рисунке 4.7 показан пример входного сигнала, состоящего из 4 отсчетов, и импульсной характеристики системы, состоящей из 9 отсчетов (т.е., два этих сигнала поменялись местами, по сравнению с предыдущим примером). Но выходной сигнал полностью совпадает с выходным сигналом, полученным в предыдущем примере! Это говорит об одном важном свойстве операции свертки – перестановки или коммутативности (commutative):

        (4.2)

Рисунок 4.7 Второй пример операции свертки

С математической точки зрения не важно, какой из сигналов является входным, а какой – импульсной характеристикой. Важно, что над двумя сигналами выполняется операция свертки. Для реальных систем эти два значения различны и имеют разный физический смысл, а используемый математический аппарат позволяет получить верный результат.

4. Второй подход к операции свертки

Первый подход к операции свертка отражает, каким образом каждый отсчет входного сигнала создает несколько отсчетов выходного сигнала. Второй подход отражает, из каких составляющих отсчетов входного сигнала состоит каждый отсчет выходного сигнала. Такой подход предполагает решение уравнения следующего вида: = комбинация некоторых переменных. Это означает, что -отсчет выходного сигнала определяется как комбинация некоторого количества отсчетов входного сигнала и импульсной характеристики системы. Данный подход позволяет определить значение отдельного отсчета выходного сигнала независимо от остальных отсчетов.

На рисунке 4.8 показан способ получения значения одного отсчета выходного сигнала по некоторому количеству отсчетов входного сигнала (напр. для ):

        (4.3)


Рисунок 4.8 Сверточная машина

Показанная схема вычисления свертки называется сверточной машиной (convolution machine). Сверточная машина обозначена штриховой линией и может передвигаться вправо и влево, позволяя вычислять значения каждого отсчета выходного сигнала. Для получения значения выходного отсчета, несколько отсчетов входного сигнала перемножаются с соответствующими значениями импульсной характеристики, а затем складываются.

Расположения отсчетов импульсной характеристики внутри сверточной машины очень важно. Отсчеты импульсной характеристики расположены зеркально, т.е. младший отсчет располагается справа, а нарастание номеров отсчетов происходит влево. Т.е. каждый отсчет выходного сигнала состоит из нескольких отсчетов входного сигнала, взвешенных с зеркально отраженными отсчетами импульсной характеристики.

Рисунок 4.9 отображает пример получения значения отсчетов для некоторых точек выходного сигнала. Сложность возникает при вычислении краевых точек (первой и последней), для расчета которых отсутствуют отсчеты входного сигнала. Одним из способов решения данной проблемы являются добавление к сигналу несуществующих отсчетов. После последнего отсчета сигнала добавляется несколько нулевых отсчетов (т.е. равных нулю). Этот способ называется расширение сигнала. С математической точки зрения, свертка со значениями, равными нулю, равносильна игнорированию несуществующих отсчетов.

Особенность обработки заключается в том, что самые левые и самые правые отсчеты выходного сигнала получены по отсутствующей информации. В ЦОС это значит, что импульсная характеристика не охватывает полностью входной сигнал. В аналоговой электронике существует сходная ситуация – когда форма аналогового сигнала искажается переходными процессами при включении и выключении питания. Если в аналоговой электронике эта ситуация игнорируется, то в ЦОС она очень важна.

Иллюстрацией такой ситуации является рисунок 4.10. Входной сигнал – синусоида с постоянной составляющей. Для исключения постоянной составляющей входной сигнал пропускается через ФВЧ. (показана его импульсная характеристика). В результате – первые и последние 30 отсчетов выходного сигнала оказались искажены. Причина искажения понятна. Если расширить входной сигнал нулевыми отсчетами (т.е. добавить и ), искажения выходного сигнала исчезнут. Этот «краевой эффект» является серьезной проблемой в ЦОС.

Рисунок 4.9 Получение значения отсчетов выходного сигнала

Рисунок 4.10 «Краевой» эффект в сверточной машине

Чаще всего первые и последние отсчеты выходного сигнала игнорируется.

Запишем математическое выражение для сверточной машины. Если сигнал состоит из N отсчетов (от 0 до N-1), сигнал состоит из M отсчетов (от 0 до M-1), то сверткой этих двух сигналов будет сигнал:

    , состоящий из N+M-1 отсчетов (от 0 до N+M-2):

        (4.4)

Это уравнение называется сверточная сумма (convolution sum). Оно позволяет вычислить значения любого отсчета выходного сигнала независимо от остальных отсчетов. Индекс i указывает на номер вычисляемого отсчета. Для определения его значения каждый отсчет импульсной характеристики перемножается с соответствующим отсчетом входного сигнала . Вся математика ЦОС основана на этом уравнении.